중고등학교에서 배우는 수학 - (3) 함수와 그래프

  오랜만에 수학에 대한 글로 찾아뵙습니다. 중고등학교에서 배우는 내용들 가운데에서 가장 학생들을 나락으로 빠뜨리는 내용이라고 생각하는 '함수와 그래프'가 그 세 번째 내용입니다. 우리가 교육과정 가운데에서 배우는 함수와 그래프는 나눠보자면 다항함수와 다항함수가 아닌 함수라고 생각해주시면 되겠습니다. 다항함수의 내용으로는 일차함수, 이차함수, 삼차함수, 등등 n차 함수를 말하는 것인데 이것만 해도 학생들이 머리가 뜨끈뜨끈해지는데 추가적으로 다항함수가 아닌 함수들 가운데에서는 유리함수, 무리함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등이 대표적이라고 할 수 있습니다. 
 함수를 가장 간단하게 표현하자면 '두 집합 사이의 대응'이라고 할 수 있습니다. 역사적으로 함수의 정의는 많이 바뀌어 왔는데 지금의 교육과정에서는 함수를 '대응 관계'라고 생각하고 있다고 보면 되겠습니다. 두 집합에서 각각의 원소에 대해서 관계를 모아 놓은 것을 함수라고 보시면 되겠습니다. 좌표평면에 선을 그린다고 생각하면 더욱 편하게 기억할 수 있겠지요. 거기에 점이 모여서 선이 된다고 생각하시면 좀 더 편하게 생각할 수 있습니다. 대응하는 각각의 점들을 모아 놓으면 선이 이루어진다!ㅎㅎ 그게 바로 그래프가 되는거라고 보시면 됩니다. 이제 대응하는 각각의 집합을 정의역과 공역과 치역이라고 생각하면 되는데 여기서 간단하게 생각하면 정의역은 화살을 모아놓은 것이라고 생각하면 되고 공역은 과녘이 될만한 것들을 모아 놓은 것이라고 생각하면 되고, 치역은 화살을 맞은 과녘들만 모아놓은 것이라고 생각하면 좀 더 이해가 수월하실 겁니다.
 다항함수의 간단한 특징으로는 차수가 올라가는 만큼 선이 꺾인다고 생각하시면 편하겠습니다. 그래서 일차함수는 직선으로 표현하고 이차 이상의 다항함수부터는 차수가 올라가는 만큼 선이 꺾인다고 생각하시면 되겠습니다! 즉, 차수가 올라갈수록 그래프의 모양이 많이 꺾인다고 생각하시면 되겠습니다! 다항함수가 아닌 함수들의 특징은 각자 특징이 있는데 대표적인 특징으로는 점근선이 존재한다는 것과 값이 무한하지 않을 수 있다는 점입니다. 다항함수에서는 정의역을 실수 전체에서 보았을 때 값이 무한하게 증가하거나 감소하는데 다항함수가 아닌 함수들은 그렇지 않습니다. 정의역이 실수 전체라고 하더라도 치역이 일정한 범위로 나올 수 있는 것이 다항함수가 아닌 함수들이 가질 수 있는 특징이라고 보시면 되겠습니다.
 이러한 함수와 그래프를 배우는 이유에 대해서 생각해보겠습니다. 우리가 살다보면 어떠한 사건에 대한 결과들을 모아 놓는 일이 생각보다 흔합니다. 그러한 사건들을 모았을 때 가장 분석하기 쉽게 만들어 줄 수 있는 것이 바로 함수와 그래프의 역할이라고 생각해주시면 되겠습니다. 가장 쉬운 예를 들어보면, 기상예보에서 예년 기온에 비해 평년 기온이 높다거나 낮다고 얘기할 때가 있는데 이를 꺾은선그래프로 표현하는 것을 본 적이 있으실 겁니다. 그렇게 누적해서 자료를 모아서 비교를 하는 것을 볼 수 있는데 이는 우리가 미래를 대비할 수 있게 해줄 수 있습니다. 10년간 이런 식으로 변화가 일어났을 때 그 차후 10년이라던지 혹은 단기간도 우리가 예측은 할 수 있게 해주겠지요?ㅎㅎ 이러한 점에서 함수와 그래프는 우리의 삶을 좀 더 윤택하게 만들어 줄 수 있는 효과적인 도구라고 생각하면 좀 더 공부할 때 열심히 해보려고 하지 않을까 생각하면서 글을 마무리해보도록 하겠습니다.